nabla
Nabla on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasasivuisen kolmion muotoinen symboli (∇). Sillä voidaan merkitä sekä skalaarifunktion (esim. lämpötila), että vektorifunktion (esim. sähkökenttä, jolla on suunta) gradienttia että vektorifunktion divergenssiä tai roottoria.
Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta.[1] Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta.
Sisällysluettelo
Merkitykset
Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa , jonka koordinaatit ovat (x, y, z), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:
missä ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa.
Vaikka , ja ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja, niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja[2] ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori.
Gradientti
-
Pääartikkeli: Gradientti
Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa määritellyn funktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia, joka määritellään seuraavasti:
- .
Funktion f gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa f kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa.[2] Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota f, joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (x,y). Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti.
Divergenssi
-
Pääartikkeli: Divergenssi
Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona. Jos funktio on
,
sen divergenssi on:
- .[3]
Divergenssi on siis skalaarifunktio, samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä.
Roottori
-
Pääartikkeli: Roottori (matematiikka)
Avaruudessa määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona. Funktion
roottori on siis:
- .[4]
Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen.
Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa:
Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä.
Laplacen operaattori
-
Pääartikkeli: Laplacen operaattori
Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin. Se määritellään seuraavasti:
- .
Sekin voidaan esittää myös nablan avulla:
- .
Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä, yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä.
Tietotekniikka
Unicodessa nablan koodiarvo on U+2207. HTML:ssä se voidaan merkitä muodossa ∇
ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX-merkintäjärjestelmässä \nabla
.
Lähteet
Kirjallisuutta
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).
Tämä artikkeli on Wikipediasta, johtavasta käyttäjien tuottamasta tietosanakirjasta. Sen sisältöä ei välttämättä ole tarkistettu ammattitoimittajilla (katso täysi vastuuvapauslauseke)
Wikipedia - Lahjoita Wikimedialle
Etsi toista sanaa